La dinámica poblacional en Vensim 3

 

 Forma sigmoidal y ecuación maestra en el modelo de la dinámica poblacional mundial bajo la dinámica de sistemas (Vensim).

 

 

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Abstract

El objetivo principal de este documento es detallar tres de los principales componentes para comprender el modelo de dinámica poblacional elaborado bajo el amparo de la dinámica de sistemas:

1.- las ecuaciones que resuelven numéricamente (con el procedimiento de Euler) las integrales de las ecuaciones diferenciales usadas

2.- el comportamiento sigmoidal del sistema, que es comparable con el de otros sistemas muy estudiados en el ámbito de la dinámica de sistemas

3.- la ecuación maestra para procesos de nacimiento-muerte puede sernos de utilidad para una comprensión profunda.

Además, en este trabajo voy enumerando los caminos que dejo abiertos para mayor profundización en futuras entregas, por lo que me servirá como hoja de ruta para el futuro próximo.

 

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Tabla de Contenidos

 

El modelo de dinámica poblacional……………………………………………………………….. 1

Análisis de la parte gráfica……………………………………………………………………………… 2

Análisis de las ecuaciones de solución numérica…………………………..……   3

Análisis de la ecuacion maestra…………………….…………………………   4

Conclusiones …………………………………………………………………………5

Lista de referencias………………………………………………………………………………………… 6

 

1.- El modelo de dinámica poblacional

  1. Siguiendo las predicciones de las Naciones Unidas (2015), UN desde ahora, y de Hans Rosling (2015a) he desarrollado varios modelos de dinámica de población mundial usando el software Vensim de Ventana Systems.
  2. El programa Vensim es un software de simulación usado para desarrollar modelos dinámicos con bucles retroactivos, según se desprende de la web de sus creadores (http://vensim.com/vensim-software/).
  3. El Vensim ha resultado especialmente útil para el estudio de la “dinámica del sistema humanos en el planeta Tierra. “Mediante este nombre [dinámica de sistemas] se alude a un método para el estudio del comportamiento de sistemas mediante la construcción de un modelo de simulación informática que ponga de manifiesto las relaciones entre la estructura del sistema y su comportamiento.” (Donado et al, 2005, p 3).
  4. En el caso que nos ocupa estudiamos lo que, según Roos, son las dos características más importantes de una población para su desarrollo futuro: (1) el total del número de individuos en la población y (2) su estructura o composición en términos de edad (lo que para nosotros serán las cohortes o grupos etarios), (Roos, p 8).
  5. Los modelos creados replican las proyecciones sobre crecimiento de la población mundial (hasta llegar a los 10.200 u 11.500 millones en el año 2100) tal y como aparecen en el informe de las Naciones Unidas (UN 2015), con un coste computacional mínimo.
  6. En la figura 1 podemos ver la estructura de uno de los modelos más sencillos que replica la evolución de la población desde 1950 hasta 2100, en acuerdo con las proyecciones de las UN (2015).

esquema-con-grafica-desde-1950

figura 1

  1. En la tabla 1 podemos ver los elementos que conforman el sistema.

 cuadro-elementos-del-sistematabla 1

 

  1. En los apartados que siguen voy a analizar gráfica y analíticamente el comportamiento de la población por cohortes (variables nivel) y la población mundial (auxiliar).

 

2.- Análisis de la parte gráfica

  1. Una de las ventajas de trabajar con la dinámica de sistemas consiste en encontrar las llamadas estructuras genéricas. Glick y Duhon las definen como aquellas estructuras que pueden hallarse en diferentes situaciones. También son llamadas estructuras transferibles. Estas estructuras genéricas facilitan la transferencia de conocimiento de un sistema a otro. (Traducción libre de Glick y Duhon, 2001).
  2. Donado y otros definen a los bucles de realimentación negativa y positiva como “los ejemplos más simples de estructura de un sistema capaces de generar comportamiento de forma autónoma”.
  3. Señalan que lo habitual es encontrar sistemas complejos con “múltiples bucles de realimentación, tanto positivos como negativos”. En tal caso, el comportamiento del sistema dependerá de “cuáles de los bucles sean dominantes en cada momento”.
  4. “De estas combinaciones hay algunas particularmente interesantes”, que generan “pautas estructurales que se presentan en múltiples situaciones”. Estas son nuestras estructuras genéricas. Donado y otros acaban señalando que “en la actualidad se han publicado del orden de doce de estos arquetipos, entre los que cabe destacar el de crecimiento sigmoidal…”. (Donado et al, 2005, p 25).
  5. Glick y Duhon nos avisan sobre el error de confundir estructuras con comportamiento. La estructura de bucles a que se refieren Donado y otros serán las causantes del comportamiento sigmoidal, pero el comportamiento sigmoidal no es una estructura. (Traducción libre de Glick y Duhon, 2001).

 

  1. Como puede apreciarse en la figura 1 y probablemente mejor en las figuras 2 y 3, las variables nivel (cohortes) y la auxiliar (población total) en el modelo presentado tienen un comportamiento en forma de “S”, es el denominado comportamiento sigmoidal.

sigmoidales_por_cohortefigura 2

 sigmoidal_totalfigura 3

 

  1. Una a una, todas las curvas presentadas siguen el mismo patrón. Se empieza por un valor inicial por debajo de la llamada cantidad de equilibrio. Luego se inicia un crecimiento exponencial. Ese comportamiento dominante exponencial cesa a partir de un punto de inflexión desde el cual la dominancia es ejercida por una aproximación asintótica a la cantidad de equilibrio. Lo que veremos que podemos interpretar como un comportamiento estacionario.
  2. En próximas entregas espero poder analizar en profundidad las causas de este comportamiento.
  3. Este comportamiento sigmoidal es explicado muchas veces como el propio de la difusión de un rumor, la venta de nuevos productos, la propagación de enfermedades infecciosas y las poblaciones con recursos limitados, según vemos en Donado y otros, (2005, p 25), y Glick y Duhon, (2001).
  4. Además de los anteriores, un sistema con comportamiento similar sería el del transporte de gases en sangre. En concreto el de la curva de disociación del oxígeno en la molécula de Hemoglobina de la sangre humana. (Noriega, 2011).
  5. Será interesante profundizar en futuras entregas respecto a las similitudes y diferencias de aquellos sistemas con comportamiento sigmoidal y nuestro modelo de población humana, que espero que puedan dar luz respecto a varios aspectos del sistema analizado.
  6. Siguiendo las recomendaciones de Dr. de Pomposo, intentaré confirmar si la forma sigmoidal de la curva también nos informa de una gran afinidad a algo al inicio de la evolución y una pérdida de esa afinidad hacia el final, es decir, de un proceso de saturación. Para esta última parte será conveniente revisar en profundidad el caso de la curva de disociación del oxígeno.
  7. Desde el punto de vista topológico, investigaré el cambio de concavidad y el posible punto de inflexión. Así como la existencia de comportamiento extremal (máximo o mínimo) en el desempeño del proceso de variación en la población humana.
  8. Por ejemplo, en el caso de que, en base a trabajos posteriores, pueda recuperar el tipo de función representada en la ecuación 1, de carácter logístico, desde los datos de evolución poblacional analizados, estaré en condiciones de encontrar el punto de cambio de concavidad, haciendo nula la segunda derivada, con lo que espero poder reconstruir para mi modelo los resultados que presentan Donado y otros para su ejemplo (2005, p 41).

ecuacion-1

 

  1. Otro aspecto en el que me interesa indagar en el futuro es respecto al crecimiento sigmoidal como proceso de crecimiento asociado a un bucle de realimentación positiva que se encuentra con unos límites. “Ello es debido a que la espiral de crecimiento produce, aunque sea de forma no deseada, efectos secundarios que eventualmente conducen al agotamiento del proceso de crecimiento.” (Donado et al, 2005).
  2. Me interesa porque, de ser cierta la hipótesis de Rosling (2015a), el agotamiento del proceso de crecimiento sería deseado y los límites no vendrían de una limitación en los recursos, tal y como se dan habitualmente en los estudios de ecología poblacional.
  3. Es muy común que los modelos de ecuaciones diferenciales sobre dinámica poblacional beban de las propuestas malthusianas y la llamada capacidad de carga del medio, como encontramos en Roos (2014, p 16), Donado y otros (2005, p 41), Glick y Duhon (2001, p 5).
  4. En el modelo creado no se ha tomado en cuenta esa capacidad de carga del entorno (la biosfera) y no obstante se ha confirmado el comportamiento sigmoidal. De ello se deriva que, en el caso de encontrarnos como parece, ante una función de carácter logístico, su nacimiento diferiría de las predicciones de Malthus.
  5. Esta función logística, según Roos (2014, p 17) no tiene tanto un valor cuantitativo como cualitativo. Será interesante discernir si la nuestra contiene ambos valores. Parece que la parte cuantitativa está asegurada al haber sido capaces de reproducir las proyecciones de las UN (2015).

 

3.- Análisis de las ecuaciones de solución numérica.

  1. Como puede verse en la tabla 1, las variables nivel tienen como fórmula básica introducida en el Vensim la siguiente estructura, expresada en la ecuación 2:

ecuacion-2

  1. En la propia sección de ayuda del programa se nos explica la secuencia computacional que utiliza para hacer esta integral. El Vensim usa la integración de Euler, que es “la manera más obvia de integrar numéricamente un conjunto de ecuaciones diferenciales”.
  2. En el caso del modelo de dinámica poblacional por cohortes he comprobado que los cálculos del Vensim siguen estas ecuaciones:

ecuacion-3ecuacion-4ecuacion-5ecuacion-6

  1. Donde:
    • T=Total
    • c=0=cohorte de 0-15 años
    • c=16=cohorte de 16 a 30
    • c=31=cohorte de 31 a 45
    • c=46=cohorte de 46 a 60
    • c=60=cohorte de >60
    • P es para población,P super_c,sub_t  es la población de cada cohorte, en cada momento.
    • Tn sub_t=tasa de nacimientos (hijos por mujer),
    • e super_c, sub_t es el efecto de envejecimiento entre cohortes (pasar de 15 a 16 años, por ejemplo)
    • tm sub_t=tasa de mortalidad (población >60/esperanza de vida)
  2. El proceso de dinámica poblacional queda repartido entre las ecuaciones 4, 5 y 6, siendo la ecuación 3 el resultado de la suma de las anteriores.
  3. Esta división en tres se debe a que la primera nutre su crecimiento por los nacimientos: ecuacion-7, y su salida es pasar de 15 a 16 años: ecuacion-8.
  4. En cambio, las cohortes intermedias tienen como entrada el envejecimiento de la cohorte anterior: ecuacion-9 y como salida el envejecimiento de la propia: ecuacion-10 .
  5. Por último, la ecuación 6 para la última cohorte tiene como salida la muerte: ecuacion-11, la entrada es pasar de 46 a 47 años: ecuacion-12.
  6. Estas diferencias en la estructura de las ecuaciones junto con la posibilidad de estudiar por separado el bucle efectos del desarrollo-hijos por mujer-nacimientos, hacían necesaria la separación.
  7. En el apartado 29 decía que he comprobado que los resultados de la integración por Euler de las ecuaciones diferenciales computadas con el Vensim coinciden con las ecuaciones 3, 4, 5 y 6 propuestas. Ello es así dado que he creado una hoja de cálculo donde comparo los resultados del Vensim con los propios de la iteración de las ecuaciones de la 3 a la 6. Este cuadro puede encontrarse en el anexo 1. En negro vemos los cálculos realizados por el programa. En rojo los realizados en la iteración manual. En la figura 4 puede verse una muestra de esos cálculos.

muestra_operaciones_poblacion_rosling

 figura 4

 

4.- Análisis de la ecuación maestra

  1. Reich (1998, pg 229) define la ecuación maestra como “la ecuación que gobierna la dinámica estocástica de los procesos de Markov”
  2. A lo que añade que “es una de las ecuaciones más importantes de estadística para la física, debido a su aplicabilidad casi universal. Se ha aplicado a problemas en la química, la biología, la dinámica de la población, la física del láser…”
  3. Para el caso de poblaciones, Reich (1998, pg 260) deriva la ecuación maestra de los denominados procesos de nacimiento-muerte, que son aquellos en los que las transiciones solo pueden darse entre estados vecinos. “Por ejemplo, si tenemos un proceso en el que solo un individuo nace en cada nacimiento y unos muere en cada muerte, tenemos un típico proceso de nacimiento-muerte”. (traducción libre)
  4. En el caso que nos ocupa interpreto la ecuación maestra como aquella que informa de la probabilidad de que la población sea constante en el tamaño “n”.
  5. Siendo así, si la primera derivada de ecuación maestra es igual a cero, tendremos un proceso estacionario, en el que la probabilidad de que la población sea constante se mantendrá constante. En la ecuación 7 podemos ver la ecuación maestra propuesta por Reich.

ecuacion-7a

 

 

 

Siendo:

  • simbolo-1: la probabilidad de tener individuos en el momento
  • simbolo-2: la probabilidad de que nazca un individuo
  • simbolo-3: la probabilidad de que muera un individuo
  1. Reich (1998, pg 260) indica que la mayoría de veces, se entiende que las probabilidades de nacimiento y muerte no dependen del tiempo. De ser este el caso, la ecuación maestra tendrá como mínimo un estado estacionario, simbolo-4 que será independiente del tiempo y satisfará la condición simbolo-5. De aquí podemos escribir la ecuación maestra para el estado estacionario del proceso nacimiento muerte: ecuacion-8a
  2. Mi interpretación de la ecuación 8 pasa por considerar que las cantidades positivas implican un incremento de la probabilidad de que el sistema permanezca en estado estacionario y las negativas una disminución de esa probabilidad. Con
  • simbolo-6: si nace un individuo siendo n-1, llegamos a n
  • simbolo-7: si muere un individuo siendo n+1, llegamos a n
  • simbolo-8: si nace un individuo siendo n, dejamos de ser n
  • simbolo-9: si muere un individuo siendo n, dejamos de ser n

 

  1. Reich (1998, p 260) continúa diciendo que en el caso de que ecuacion-9aestaremos frente a un sistema que obedece un balance detallado. Los sistemas que obedecen balances detallados son muy similares a los que están en equilibrio termodinámico.
  2. Será interesante, en el caso de confirmar que nuestro modelo sigue una ecuación maestra parecida, ver las implicaciones de la existencia de un balance detallado.
  3. Reich (1996, p 261 y sig) desarrolla soluciones para las ecuaciones maestras de procesos de nacimiento-muerte lineales y no lineales.
  4. Para futuras entregas espero poder establecer si ese análisis cuadra con el modelo de dinámica poblacional humana. Valga por ahora decir que la solución que propone tiene la forma de la ecuación 1. Lo que explicaría el carácter sigmoidal de nuestro modelo.
  5. También en un futuro deberé superar el hecho de que mi modelo consta de tres ecuaciones, cuando el de nacimiento-muerte, que Reich (1996, p 260) usa para bacterias, consta de una sola.
  6. El Dr. Pomposo me ha propuesto investigar la posibilidad de funciones delta de Kronecker definidas para las fronteras de cada cohorte. Así lo haré.
  7. Quiero señalar que la forma de tratar las fronteras entre cohortes o entre edades adyacentes es discutida en la literatura sobre el problema de identificación por multicolinealidad perfecta en modelo edad-period-cohorte (Browing et al, 2012) y que será interesante ver si la solución propuesta por las funciones delta de Kronecker puede ser útil en ese contexto.

 

5.- Conclusiones

  1. Haber identificado el comportamiento sigmoidal del sistema analizado debería suponer poder realizar avances significativos en las futuras entregas.
  2. Será interesante la búsqueda de una función logística, sea cual sea el resultado. Visto que la parte cuantitativa es valiosa, deberé poner en valor la parte cualitativa. Por ejemplo, confirmando la inoperancia de las propuestas malthusianas.
  3. El estudio de la topología de las curvas también encierra información que espero transformar en valiosa.
  4. Haber identificado las ecuaciones que conforman la solución de Euler para las integrales de las ecuaciones diferenciales del modelo será de gran utilidad por dos motivos al menos. El más importante consiste en que teniendo confirmada la validez de las ecuaciones 3,4,5 y 6 ya parto de una sólida base para enfrentarme a la búsqueda de la función primitiva generadora. El segundo consiste en que puede ser práctico poder utilizar hojas de cálculo para reproducir el comportamiento del sistema sin necesidad de utilizar el Vensim.
  5. El análisis del modelo también se nutrirá profundamente de contar con la ecuación maestra de los procesos de nacimiento-muerte. Así como del hecho de identificar momentos estacionarios y balance detallado.
  6. Siguiendo con las propuestas netamente aprovechables de Reich cabe añadir el estudio de la linealidad o no del modelo.
  7. Por último, será interesante contrastar si las funciones delta de Kronecker pueden ser una alternativa para enfrentarse al problema de identificabilidad en los modelos de edad-periodo-cohorte.
  8. Creo que la conclusión más importante de todas es que el modelo presenta una variedad de caminos ciertamente interesantes para la comprensión, no solo del sistema estudiado, sino del pensamiento complejo en sí.

 

 

Lista de referencias

Browning, M.; Crawford, I.; Knoef, M. (2012) : The age-period cohort problem: Set identification and point identification, cemmap working paper, No.

CWP02/12,    http://dx.doi.org/10.1920/wp.cem.2012.0212

 

Donado J.M., Dormido S. y Morilla F. (2005). Fundamentos de la dinámica de sistemas y modelos de dinámica de sistemas en epidemiología. Madrid.

 

Glick M. y Duhon T. bajo supervisión de Forrester J.W. (2001) Sloan School of Management Massachusetts Institute of Technology.

 

Noriega MªJ.  (2011). Tema 5. Transporte de gases en sangre. Fisiología Humana (2011)-G367. Universidad de Cantabria. Departamento de Fisiología y Farmacología.

 

Reich L.E. (1998) A modern course in statistical physics 2nd ed. John Wiley & Soms, Inc. Canada.

 

Roos A. (2014). Modeling population dynamics. Institute for Biodiversity and Ecosystem Dynamics Population Biology Section, University of Amsterdam Kruislaan 320, 1098 SM Amsterdam, The Netherlands. December 17.

 

 

Rosling, Hans (2015)

How to end poverty in 15 years. BBC News.

https://youtu.be/5JiYcV_mg6A

 

United Nations, Department of Economic and Social Affairs, Population Division (2015) World Population Prospects: The 2015 Revision, Key Findings and Advance Tables. Working Paper No. ESA/P/WP.241.

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